Insertion dans un arbre binaire de recherche - Sujet 33 - EP NSI 2025

Exercice 1

Dans cet exercice, on considère des arbres binaires de recherche qui sont :

soit l’arbre vide identifié par None ;
soit un nœud, contenant une clé et deux sous-arbres gauche et droit et représenté par un triplet (g, v, d) où g et d sont les sous-arbres gauche et droit et v la clé.

flowchart TD
    n1((1)) --> n0((0))
    n1 --> n2((2))
    n2 --> n3((3))

[Figure : schéma de l’arbre binaire de recherche abr1. La racine porte la clé 1 ; son sous-arbre gauche est le nœud de clé 0 (sans enfants) et son sous-arbre droit est le nœud de clé 2, dont le sous-arbre droit est le nœud de clé 3 (sans enfants). L’arbre est légendé abr1.]

Ainsi, l’arbre binaire de recherche abr1 ci-dessus est créé par le code python ci-dessous

n0 = (None, 0, None)
n3 = (None, 3, None)
n2 = (None, 2, n3)
abr1 = (n0, 1, n2)

Écrire une fonction récursive insertion_abr(a, cle) qui prend en paramètres une clé cle et un arbre binaire de recherche a , et qui renvoie un arbre binaire de recherche dans lequel cle a été insérée.

Dans le cas où cle est déjà présente dans a, la fonction renvoie un arbre identique à a.

Résultats à obtenir :

>>> insertion_abr(abr1, 4)
((None,0,None),1,(None,2,(None,3,(None,4,None))))
>>> insertion_abr(abr1, -5)
(((None,-5,None),0,None),1,(None,2,(None,3,None)))
>>> insertion_abr(abr1, 2)
((None,0,None),1,(None,2,(None,3,None)))

Exercice 2

On dispose d’un ensemble d’objets dont on connaît, pour chacun, la masse. On souhaite ranger l’ensemble de ces objets dans des boites identiques de telle manière que la somme des masses des objets contenus dans une boîte ne dépasse pas la capacité c de la boîte. On souhaite utiliser le moins de boîtes possibles pour ranger cet ensemble d’objets.

Pour résoudre ce problème, on utilisera un algorithme glouton consistant à placer chacun des objets dans la première boîte où cela est possible.

Par exemple, pour ranger dans des boîtes de capacité c = 5 un ensemble de trois objets dont les masses sont représentées en Python par la liste [1, 5, 2], on procède de la façon suivante :

Le premier objet, de masse 1, va dans une première boite.
Le deuxième objet, de masse 5, ne peut pas aller dans la même boite que le premier objet car cela dépasserait la capacité de la boite. On place donc cet objet dans une deuxième boîte.
Le troisième objet, de masse 2, va dans la première boîte.

On a donc utilisé deux boîtes de capacité c = 5 pour ranger les 3 objets.

Compléter la fonction Python empaqueter(liste_masses, c) suivante pour qu’elle renvoie le nombre de boîtes de capacité c nécessaires pour empaqueter un ensemble d’objets dont les masses sont contenues dans la liste liste_masses. On supposera que toutes les masses sont inférieures ou égales à c.

def empaqueter(liste_masses, c):
    """Renvoie le nombre minimal de boîtes nécessaires pour
    empaqueter les objets de la liste liste_masses, sachant
    que chaque boîte peut contenir au maximum c kilogrammes"""
    n = len(liste_masses)
    nb_boites = 0
    boites = [ 0 for _ in range(n) ]
    for masse in ...: 
        i = 0
        while i < nb_boites and boites[i] + ... > c: 
            i = i + 1
        if i == nb_boites:
            ...
        boites[i] = ... 
    return ...

Exemples :

>>> empaqueter([1, 2, 3, 4, 5], 10)
2
>>> empaqueter([1, 2, 3, 4, 5], 5)
4
>>> empaqueter([7, 6, 3, 4, 8, 5, 9, 2], 11)
5

Les contraintes ci-dessous sont ajoutées par la plateforme et ne font pas partie du sujet.

Exercice 1

Contraintes :

a est soit None, soit un triplet (g, v, d) où g et d sont eux-mêmes des arbres de cette forme
0 <= nombre de nœuds de a <= 10^3
les clés de a sont des entiers deux à deux distincts et a vérifie la propriété d’arbre binaire de recherche : toute clé de g est strictement inférieure à v, toute clé de d est strictement supérieure à v
-10^9 <= v <= 10^9 pour toute clé v de a, et -10^9 <= cle <= 10^9
la hauteur de a ne dépasse pas 100
cle peut être déjà présente dans a
la valeur renvoyée est un arbre de la même forme (None ou triplet), comparé par égalité de tuples

Exercice 2

Contraintes :

liste_masses est une liste d’entiers et 0 <= len(liste_masses) <= 10^3
1 <= c <= 10^4
1 <= liste_masses[i] <= c : toutes les masses sont inférieures ou égales à c
l’ordre des masses dans liste_masses fait partie de l’entrée et ne doit pas être modifié
la valeur attendue est le nombre de boîtes obtenu en plaçant chaque objet, dans l’ordre de la liste, dans la première boîte pouvant l’accueillir ; ce nombre n’est pas toujours le minimum théorique
la valeur renvoyée est un entier

Énoncé du problème

Exercice 1

Exercice 2